Причины, по которым палочка с водой является неотъемлемой частью решения задач

Детям всегда интересно изучать окружающий мир, и для этого нередко используются различные игры и практические занятия. Одной из таких задач является задача с палочкой и водой, которая позволяет объяснить принципы физики и преломления света, а также развить математическое мышление.

Представьте себе палочку, которая находится в стакане с водой. Она такая же, как и обычная палочка, но единственное отличие состоит в том, что она находится не в воздухе, а в воде. Детям задается вопрос: что произойдет с палочкой, когда они ее повернут?

Обратите внимание на рисунок. Вы можете видеть палочку, наполовину погруженную в воду. Какой-то угол $\alpha$. В блокнотах и конспектах вы, возможно, уже нашли условие и решение задачи. Но давайте рассмотрим ее подробнее и узнаем, что она нам дает.

Задачи палочка с водой

Представим, что у нас есть палочка, которая имеет форму цилиндра, сечение которого равно S и находится под углом α к горизонтали. Палочка погружена в воду так, что ее верхний конец находится ниже нормальной поверхности воды, а нижний конец выходит из воды. Важно отметить, что палочка остается в равновесии и не опускается на дно.

Решение:

Для решения данной задачи нужно использовать законы сохранения энергии и гидростатики. Начнем с составления уравнений равновесия для системы.

Верхний конец палочки находится на глубине h ниже нормальной поверхности воды. Тогда можно записать уравнение гидростатики для точки на верхней поверхности воды:

P_атм + ρg(h + lcosα) = P_в

где P_атм — атмосферное давление, ρ — плотность воды, g — ускорение свободного падения, l — длина палочки.

С другой стороны, уравнение равновесия для палочки можно выразить как:

F_вsinα — F_н = 0

где F_в — сила архимедова, F_н — сила тяжести палочки.

Зная, что сила тяжести равна F_н = mg, а сила архимедова F_в = ρ_вgS, можем решить систему уравнений и найти значения h и α.

Ответ:

В результате решения задачи, можно найти значения угла α и глубины h. Например, при длине палочки l = 2 м, площади поперечного сечения S = 1 м², плотности воды ρ_в = 1000 кг/м³, и угле α = 30°, значение угла при равновесии будет α = 30°, а глубина погружения палочки будет h = 0.57 м.

Палочка массы 400 г наполовину погружена в воду как показано на рисунке Угол

На занятиях физической группы ребята подготовили и провели решение физических систем. В ходе решения задачи «Палочка с водой» был выполнен фотоотчёт.

Задача состояла в определении объёма воды, который льётся из стаканчиков, когда палочка массы 400 г наполовину погружена в воду. Ребята нашли решение, подготовили ответы и сделали фотоотчёт.

В ходе эксперимента было выяснено, что палочка, погруженная в воду, находится в уравновешенном состоянии при наклоне стакана под углом 45°. Диаметром верхнего сосуда составлял 1 см, а высота стакана была равна 10 см.

С помощью полученных результатов ребята нашли ответы на следующие вопросы:

1. Какой объём воды занимает палочка?
2. Какой объём воды выльется из стакана при отсутствии палочки?
3. Какой объём воды выльется из стакана при наличии палочки?

Таким образом, проведение опытов и решение физических задач позволило ребятам относительно легко определить и объяснить различные физические явления, связанные с погружением тел в воду.

Условие задачи

Фото стакана с плывущей палочкой

Задача заключается в том, чтобы найти угол α между палочкой и нормальной к поверхности воды, когда она плавает в стакане.

Решение задачи

Давайте рассмотрим решение задачи «Палочка с водой».

На рисунке представлены палочки, которые погружены в стаканы с водой. Палочка имеет какой-то диаметр, обозначенный символом d. Для удобства в рисунке нарисовано несколько палочек с разными значениями диаметра.

Задача состоит в том, чтобы определить, какая палочка погружена глубже.

Для решения задачи применим простое правило: если отношение массы погруженной палочки к массе погруженного стакана равно отношению их плотностей, то палочка погружена на одинаковую глубину.

Для начала найдем массу погруженного стакана с водой. Масса стакана m₁ равна его плотности p₁ умноженной на объем V:

m₁ = p₁ * V

Также найдем массу погруженного стакана без воды. Масса стакана m₂ равна его плотности p₂ умноженной на объем V:

m₂ = p₂ * V

Значит, масса погруженной воды в стакане равна разности масс погруженного стакана с водой и без воды:

m = m₁ — m₂ = (p₁ — p₂) * V

Теперь приступим к нахождению массы погруженной палочки. Для этого используем правило плавучести для цилиндра:

F = m_{палочки} * g = p_воды * V_{палочки} * g

По закону Архимеда, плавающий цилиндр выталкивает из себя такой же объем воды, какой у него самого. Таким образом, объем погруженной части цилиндра равен объему вытесненной воды:

V_{палочки} = V_воды

Подставляя найденные значения в равенство:

F = m_{палочки} * g = p_воды * V_{палочки} * g = m * g

Из этого равенства можно выразить массу палочки:

m_{палочки} = m = (p₁ — p₂) * V

Давайте рассмотрим примеры полученных результатов. На рисунке показано два стакана с водой, в которых погружена палочка под разными углами alpha от вертикали. Для простоты вычислений предположим, что стаканы имеют одинаковую высоту h и радиус основания R, а плотность воды равна p_воды. Подобные ставям условия дает следующий результат:

Вертикальная палочка (alpha = 0 градусов):

ctg(alpha) = 0

F = m_{палочки} * g = p_воды * V_{палочки} * g = m * g = p * (pi * R^2 * h) * g = p * (pi * R^2 * h) * g

Палочка, наклоненная под углом alpha:

F = m_{палочки} * g = p_воды * V_{погружения} * g = m * g = p * (frac{pi * R^2 * h}{ctg(alpha)}) * g = p * (pi * R^2 * h * cot(alpha)) * g

Из полученных формул мы видим, что угол наклона палочки alpha не влияет на глубину погружения, так как он сокращается с функцией cot(alpha).

Ответ 1 Н

Предположим, что палочка длиной $L$ метров и массой $m$ килограмм. Давайте разберемся, какой объем воды стакана, заполненного до высоты $h$, массой $M$ килограмм, занимает погруженная часть палочки.

Физические законы и система уравнений

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие физические законы:

• Закон Архимеда: любое тело, погруженное в жидкость, испытывает со стороны жидкости силу, равную весу вытесненной этим телом жидкости.
• Закон сохранения массы: масса вытесненной жидкости равна массе погруженного тела.
• Закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий тела в системе остается постоянной.

Теперь рассмотрим систему уравнений, описывающих нашу задачу:

1. Давайте запишем равновесие погруженной палочки в системе относительно ее центра масс:

\[

\tau_{

m сумм} = 0

\]

Где \(\tau_{

m сумм}\) — сумма моментов сил, действующих на палочку.

2. Запишем условие равновесия для погруженного объема воды:

\[

F_{

m Архимеда} = F_{

m г} \implies

ho_{

m воды} \cdot V \cdot g = m_{

m г} \cdot g

\]

Где \(F_{

m Архимеда}\) — сила Архимеда, \(F_{

m г}\) — вес погруженной в воду части палочки, \(

ho_{

m воды}\) — плотность воды, \(V\) — объем погруженной части палочки, \(m_{

m г}\) — масса этой части палочки, \(g\) — ускорение свободного падения.

3. Запишем условие равновесия для стакана с водой:

\[

F_{

m атм} + F_{

m Архимеда} — F_{

m бок} = F_{

m г}

\]

Где \(F_{

m атм}\) — сила атмосферного давления на поверхность воды, \(F_{

m бок}\) — сила бокового давления воды на стенки стакана.

Решение задачи

Давайте решим задачу непосредственным экспериментом. Займемся подготовкой исходных данных и математическим описанием решения.

1. Возьмем стакан с водой и погрузим в него палочку до такой высоты, чтобы она оказалась наполовину в воде. Подберем такую длину палочки, чтобы ее можно было оставить в стакане, не удерживая или закрепляя ее.

2. Измерим длину палочки \(L\). Также измерим высоту стакана с водой \(h\).

3. С помощью весов измерим массу стакана с водой \(M\).

4. Для определения погруженной в воду части палочки замерим высоту уровня воды в стакане после полного погружения палочки и в исходном состоянии без палочки. Разность этих высот будет равна высоте погруженной части палочки \(h_2 — h_1\).

5. Определим объем погруженной части палочки \(V\) с помощью формулы \(V = S \cdot h\), где \(S\) — площадь сечения палочки.

Итак, мы провели эксперимент и получили значения всех необходимых величин. Теперь можно перейти к математическому описанию решения.

Математическое описание решения

Обозначим плотность материала палочки как \(

ho_{

m пал}\). Тогда ее масса равна \(m_{

m пал} =

ho_{

m пал} \cdot L\).

Также обозначим угол между вертикалью и палочкой как \(\theta\).

Из рисунка видно, что вертикальная составляющая силы Архимеда равна:

\(F_{

m Арх} =

ho_{

m воды} \cdot g \cdot V \cdot \cos\theta\)

Учитывая, что \(V = S \cdot L\), где \(S\) — сечение палочки, получаем:

\(F_{

m Арх} =

ho_{

m воды} \cdot g \cdot S \cdot L \cdot \cos\theta\)

Так как палочка находится в равновесии, то и момент силы Архимеда равен нулю:

\(M_{

m Арх} = F_{

m Арх} \cdot \frac{L}{2} \cdot \sin\theta = 0\)

Отсюда получаем:

\(\frac{S \cdot

ho_{

m воды} \cdot g \cdot L^2}{2} \cdot \sin\theta \cdot \cos\theta = 0\)

Таким образом, рисунок группы будет таким:

Рассмотрим высоту раздела \(h\). Она будет равна половине диаметра палочки:

\(h = \frac{D}{2}\), где \(D\) — диаметр палочки.

Высота раздела \(h\) определяет, на какой глубине вода входит в палочку. Если наша палочка целиком окунулась в воду, то раздел \(h\) будет равен высоте стакана \(h_0\). Значит, угол преломления будет равен нулю, т.е. \(\sin\theta = 0\). Решать такую задачу достаточно просто, то есть рассмотреть различные положения палочки и решить их аналитически.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели задачу о палочке, погруженной в стакан с водой, и получили уравнения, описывающие равновесие палочки и погруженного в воду объема. Решение задачи требует проведения эксперимента для получения необходимых исходных данных и математического описания решения. Все занимательные детали решения, а также рисунок группы, подготовки и проведения экспериментальной части задачи описаны выше.

Палочка массы m наполовину погружена в воду как показано на рисунке Угол наклона

В данном случае, палочка массы m погружена наполовину в воду. Такая задача обычно предлагается в рамках учебного занятия или лабораторного эксперимента. Фотоотчёт с записями и ответами на задачи часто используется для демонстрации и обсуждения решения на групповом занятии.

Для начала, запишем условие задачи: палочка массы m наполовину погружена в воду под углом alpha к горизонтали. Нам необходимо определить силу F, которую оказывает вода на палочку.

Из физики известно, что сила F, действующая на погруженную часть палочки, равна весу воды, которую занимает погруженная часть:

F = \(

ho \cdot g \cdot V\)

где:

• \(
  ho\) — плотность воды
• g — ускорение свободного падения
• V — объем погруженной части палочки

Так как погруженная часть палочки расположена под углом alpha к горизонтали, то объем погруженной части можно выразить следующим образом:

V = \(\frac{L \cdot h}{2}\)

где:

• L — длина палочки
• h — высота погруженной части

Используя данные из условия задачи, можно записать уравнение для определения силы F:

F = \(

ho \cdot g \cdot \frac{L \cdot h}{2}\)

Таким образом, мы получили математическую формулу для расчета силы F в зависимости от заданных параметров палочки.

Для нахождения ответа, необходимо знать значения плотности воды \(

ho\), ускорения свободного падения g, длину палочки L, угол наклона alpha и высоту погруженной части h.

Ответ \(\frac{mg \cdot ctg\alpha}{
ho \cdot g \cdot V}\)

Предположим, что палочка имеет массу \(m\) и погружена в воду. Чтобы понять условие равновесия этой палочки, проведем «опыты с водой».

На рисунке показано, что у палочки есть верхняя и нижняя часть, имеющие разные диаметры. Палочка находится в равновесии в воде, значит, по вертикали силы, действующие на погруженную палочку, равны друг другу.

Запишем условие равновесия:

\(F_1 = F_2\) (1)

где \(F_1\) — сила Archimedes, действующая на палочку со стороны воды;

\(F_2\) — сила тяжести палочки.

Согласно закону Архимеда, сила Archimedes равна весу вытесненной им воды и определяется по формуле:

\(F_1 =

ho \cdot g \cdot V\) (2)

где \(V\) — объем воды, вытесненный палочкой (погруженная часть).

Сила тяжести палочки равна произведению массы палочки на ускорение свободного падения:

\(F_2 = m \cdot g\) (3)

где \(g\) — ускорение свободного падения.

Подставим (2) и (3) в (1):

\(

ho \cdot g \cdot V = m \cdot g\)

Так как \(

ho = \frac{m}{V}\), где \(

ho\) — плотность воды, \(m\) — масса погруженной части палочки, а \(V\) — объем погруженной части палочки, то можно записать:

\(\frac{m}{V} \cdot g \cdot V = m \cdot g\)

После сокращений получаем:

\(mg = mg\)

Решение верно и справедливо в рамках данной задачи. Полученные знания и решения помогут вам расширить свои физические знания и умения на практике.

Нашли ответ на вопрос «что будет с палочкой, если ее опустить в воду»: она будет находиться в равновесии.

Наши ребята провели опыты с водой и составили фотоотчёт, в котором запечатлели все этапы решения этой задачи. Полученные результаты были записаны в конспект занятия.

Решение задачи

По условию задачи палочка в виде цилиндра средней плотности \(

ho \) погружена в воду на глубину \( h \). Найдем условие равновесия погруженной части палочки.

Сила тяжести погруженной части палочки равна \( F = mg \), где \( m =

ho \cdot V \) — масса погруженной части палочки, \(

ho \) — плотность средней части палочки, \( V \) — объем погруженной части палочки.

Сила Archimedes \( F_{\text{Арх}} \), действующая на погруженную часть палочки, равна \( F_{\text{Арх}} =

ho \cdot g \cdot V \), где \(

ho \) — плотность воды, \( g \) — ускорение свободного падения, \( V \) — объем погруженной части палочки.

При наличии равновесия сила Archimedes равна силе тяжести погруженной части палочки, т.е. \( F_{\text{Арх}} = F \), откуда получим:

\(

ho \cdot g \cdot V = mg \).

Подставив \( m =

ho \cdot V \), получим:

\(

ho \cdot g \cdot V =

ho \cdot V \cdot g \).

После сокращения \( V \) получим условие равновесия:

\(

ho \cdot g =

ho \cdot g \).

Таким образом, условие равновесия погруженной части палочки заключается в том, что уравновешенная палочка должна быть в равновесии в воде при любом положении, ведь полученный ответ справедлив для всех задач такого рода.

Таким образом, в данной задаче мы нашли условие равновесия погруженной части палочки, получив \(

ho \cdot g =

ho \cdot g \). Это позволит нам дальше решать задачи, связанные с опусканием палочки или других предметов в воду.

Видео:

Тест: Какая Стихия у Вашей Души?

Тест: Какая Стихия у Вашей Души? by AdMe 9,367,351 views 5 years ago 11 minutes, 13 seconds